Question

【题目】如图，在直四棱柱中，底面为菱形，，是的中点.

（1）证明：平面；

（2）若，，求二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）由等腰三角形三线合一的性质可得，再由四棱柱是直四棱柱，可得，根据线面垂直的判定定理判断可得；

（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求二面角的余弦值；

解：（1）证明：∵，，∴是等边三角形，

∴是的中点，∴.

∵四棱柱是直四棱柱，∴平面.

∵平面，∴.

∵，且平面，平面，

∴平面.

（2）解：取的中点，则，由（1）知，直线，，两两相互垂直，如图，以为原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系.则，，，，

∴，，.

设平面的一个法向量为，

则，即，

令，则，，可得，.

设平面的一个法向量为，则，即，

令，则，，可得，.

∴，从而，

即二面角的正弦值为.