Question

19．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足sin（2A+B）=2sinA+2cos（A+B）sinA
（Ⅰ）求$\frac{a}{b}$的值；
（Ⅱ）若△ABC的面积为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，且a=1，求c的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据正弦定理进行转化即可求$\frac{a}{b}$的值；
（Ⅱ）若△ABC的面积为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，且a=1，根据三角形的面积公式以及余弦定理建立方程关系即可求c的值．

解答 解：（Ⅰ）∵sin（2A+B）=2sinA+2cos（A+B）sinA，
∴sin[A+（A+B）]=2sinA+2cos（A+B）sinA，
∴sin（A+B）cosA-cos（A+B）sinA=2sinA，
∴sinB=2sinA，由正弦定理得b=2a，∴$\frac{a}{b}=\frac{1}{2}$．
（Ⅱ）∵a=1，∴b=2，${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}absinC=\frac{1}{2}•1•2•sinC=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
所以$sinC=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，$cosC=±\frac{1}{2}$，
当$cosC=\frac{1}{2}$时，
∴$cosC=\frac{{{a^2}+{b^2}-{c^2}}}{2ab}=\frac{{1+4-{c^2}}}{4}=\frac{1}{2}$，∴$C=\sqrt{3}$．
当$cosC=-\frac{1}{2}$时，
∴$cosC=\frac{{{a^2}+{b^2}-{c^2}}}{2ab}=\frac{{1+4-{c^2}}}{4}=-\frac{1}{2}$，∴$C=\sqrt{7}$．
故$C=\sqrt{3}$或$C=\sqrt{7}$

点评 本题主要考查解三角形的应用，根据正弦定理，余弦定理以及三角形的面积公式将转化是解决本题的关键．