Question

4．若实数x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}x≥1\\ y≥0\\ x+y≤4\end{array}$，则z=$\frac{2^x}{2^y}$的最小值为（　　）

• A． 16
• B． 1
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{1}{4}$

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，由z=$\frac{2^x}{2^y}$=2^x-y，设m=x-y，取出m的最小值即可得到结论．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域如图：
由z=$\frac{2^x}{2^y}$=2^x-y，设m=x-y，则y=x-m，
平移直线y=x-m，由图象知当直线y=x-m经过A点时，直线的截距最大，此时m最小，z也最小，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{x+y=4}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=3}\end{array}\right.$，即A（1，3），
此时z=$\frac{2}{{2}^{3}}$=$\frac{1}{4}$，
故选：D．

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用换元法结合直线平移对应直线的截距关系是解决本题的关键．