Question

15．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，AB=BC=BB₁，点D，E分别为BC，CC₁的中点．
（1）求证：B₁D⊥平面ABE；
（2）若点P是线段B₁D上一点且满足$\frac{{{B_1}P}}{PD}$=$\frac{1}{2}$，求证：A₁P∥平面ADE．

Answer 1

分析 （1）先证明BB₁⊥AB，BC⊥AB，从而可证AB⊥面BCC₁B₁，进而证明AB⊥DB₁，又利用三角形全等可证∠CBE=∠BB₁D，进而可证B₁D⊥BE，从而得证B₁D⊥面ABE．
（2）连接PC交DE于点F，连接A₁C交AE 于点G，连接FG，可得$\frac{{{A_1}G}}{GC}=\frac{PF}{FC}=2$，进而可得A₁P∥GF，从而即可判定A₁P∥平面ADE．

解答 解：（1）在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁ 中，BB₁⊥面ABC，AB?面ABC，
所以BB₁⊥AB，
因为∠ABC=90°，
所以BC⊥AB，
又BC∩BB₁=B，
所以AB⊥面BCC₁B₁，
因为DB₁?面BCC₁B₁，
所以AB⊥DB₁，
因为在平面BCC₁B₁ 中，BC=BB₁，
所以四边形BCC₁B₁ 为正方形，
因为点D，E 分别为BC，CC₁ 的中点，
所以△BCE∽△B₁BD，
所以∠CBE=∠BB₁D，
所以$∠CBE+∠{B_1}DB=\frac{π}{2}$，即B₁D⊥BE，
又因为BA∩BE=B，
所以B₁D⊥面ABE．
（2）连接PC交DE于点F，连接A₁C交AE 于点G，连接FG，在正方形BCC₁B₁ 中利用$\frac{{{B_1}P}}{PD}=\frac{1}{2}$及平面几何知识可得$\frac{PF}{FC}=2$，
在正方形ACC₁A₁ 中利用CE∥AA₁ 且$CE=\frac{1}{2}A{A_1}$，可得$\frac{{{A_1}G}}{GC}=2$，
所以在△CA₁P中，$\frac{{{A_1}G}}{GC}=\frac{PF}{FC}=2$，
所以A₁P∥GF，
又A₁P?平面ADE，GF?平面ADE，
所以A₁P∥平面ADE．

点评 本题主要考查了直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，考查了转化思想，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．