Question

8．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$）的图象的两条相邻对称轴之间的距离为$\frac{π}{2}$，且图象上一个最低点为M（$\frac{2}{3}$π，-1）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）当x∈[$\frac{π}{8}$，$\frac{π}{2}$]时，求函数f（x）的值域；
（3）若方程f（x）=$\frac{2}{3}$在x∈[0，$\frac{π}{3}$]上有两个不相等的实数根x₁，x₂，求cos（x₁-x₂）的值．

Answer 1

分析 （1）根据函数f（x）的图象与性质求出T与ω，再求得A与φ的值，即可写出f（x）；
（2）根据x∈[$\frac{π}{8}$，$\frac{π}{2}$]求出sin（2x+$\frac{π}{6}$）的最大、最小值，写出f（x）的值域；
（3）根据x∈[0，$\frac{π}{3}$]函数f（x）的取值范围，得出方程f（x）=$\frac{2}{3}$有两个不相等的实数根时
x₁与x₂的关系，利用对称性计算cos（x₁-x₂）的值．

解答 解：（1）函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象的两条相邻对称轴之间的距离为$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{T}{2}$=$\frac{π}{2}$，即T=$\frac{2π}{ω}$=π，解得ω=2；
由最低点为M（$\frac{2π}{3}$，-1），可得A=1；
由点M（$\frac{2π}{3}$，-1）在图象上，可得sin（2•$\frac{2π}{3}$+φ）=-1，即sin（$\frac{4π}{3}$+φ）=-1，
∴$\frac{4π}{3}$+φ=2kπ-$\frac{π}{2}$，k∈Z，结合0＜φ＜$\frac{π}{2}$，可得φ=$\frac{π}{6}$，
函数f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）；
（2）x∈[$\frac{π}{8}$，$\frac{π}{2}$]时，2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{5π}{12}$，$\frac{7π}{6}$]，
∴2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$时，sin（2x+$\frac{π}{6}$）取得最大值1，
2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{7π}{6}$时，sin（2x+$\frac{π}{6}$）取得最小值-$\frac{1}{2}$，
∴f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）在x∈[$\frac{π}{8}$，$\frac{π}{2}$]时的值域为[-$\frac{1}{2}$，1]；
（3）x∈[0，$\frac{π}{3}$]时，2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，
∴sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[$\frac{1}{2}$，1]，即f（x）∈[$\frac{1}{2}$，1]；
又方程f（x）=$\frac{2}{3}$在x∈[0，$\frac{π}{3}$]上有两个不相等的实数根x₁，x₂，
∴（2x₁+$\frac{π}{6}$）+（2x₂+$\frac{π}{6}$）=2×$\frac{π}{2}$=π，
∴x₁=$\frac{π}{3}$-x₂；
∴cos（x₁-x₂）=cos（$\frac{π}{3}$-2x₂）
=cos[$\frac{π}{2}$-（2x₂+$\frac{π}{6}$）]
=sin（2x₂+$\frac{π}{6}$）=f（x₂）=$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了求函数的值域和对称应用问题，是综合题．