Question

已知抛物线y²=4x，F是焦点，直线l是经过点F的任意直线．
（1）若直线l与抛物线交于两点A、B，且OM⊥AB（O是坐标原点，M是垂足），求动点M的轨迹方程；
（2）若C、D两点在抛物线y²=4x上，且满足

OC

•

OD

=-4，求证直线CD必过定点，并求出定点的坐标．

Answer 1

分析：（1）利用直接法来求，设出M点的坐标，因为OM⊥AB，所以

OM

•

FM

=0，用含M点的坐标的式子表示，化简，即可得到动点M的轨迹方程．
（2）先设点C、D的坐标为（x₁，y₁）、（x₂，y₂），因为C，D D两点在抛物线y²=4x上，代入抛物线方程，找出每个点横纵坐标的关系式，再因为C，D满足

OC

•

OD

=-4，得到x₁x₂+y₁y₂=-4，把直线CD用以y₁，y₂为参数的方程求出，化成点斜式，判断是否过定点．

解答：解：（1）设动点M的坐标为（x，y）．                  
∵抛物线y²=4x的焦点是F（1，0），直线l恒过点F，且与抛物线交于两点A、B，
又OM⊥AB，
∴

OM

⊥

FM

，即

OM

•

FM

=0．                   
∴（x，y）•（x-1，y）=0，化简，得x²+y²-x=0． 
又当M与原点重合时，直线l与x轴重合，故x≠0．
∴所求动点M的轨迹方程是x²+y²-x=0（x≠0）．
（2）设点C、D的坐标为（x₁，y₁）、（x₂，y₂）．       
∵C、D在抛物线y²=4x上，
∴y₁²=4x₁，y₂²=4x₂，即x1+x2=

y 2 1 + y 2 2

4

，x1x2=

y 2 1 y 2 2

16

．
又

OC

•

OD

=-4，
∴x1x2+y1y2=-4，即

y 2 1 y 2 2

16

+y1y2=-4，解得y1y2=-8．    
∵点C、D的坐标为（x₁，y₁）、（x₂，y₂），
∴直线CD的一个法向量是

n

=(y1-y2，x2-x1)，
可得直线CD的方程为：（y₁-y₂）（x-x₁）+（x₂-x₁）（y-y₁）=0，
化简，得（y₁-y₂）x+（x₂-x₁）y+x₁y₂-y₁x₂=0，进一步用y₁、y₂分别替换x₁、x₂，有(y1-y2)x+

y1+y2

4

(y2-y1)y-2(y1-y2)=0．
又抛物线y²=4x上任两点的纵坐标都不相等，即y₁-y₂≠0．
∴直线CD的方程可化为x-

y1+y2

4

y-2=0．  
∴直线CD恒过定点，且定点坐标为（2，0）．

点评：本题主要考查了直接法求轨迹方程，以及直线与抛物线相交关系的判断，关键在于若何找到各参数之间的关系，减少参数的个数．