Question

【题目】已知函数f（x）=ex﹣kx，x∈R（e是自然对数的底数）．
（1）若k∈R，求函数f（x）的单调区间；
（2）若k＞0，讨论函数f（x）在（﹣∞，4]上的零点个数．

Answer 1

【答案】
（1）解：由f（x）=ex﹣kx，x∈R，得f'（x）=ex﹣k，

①当k≤0时，则f'（x）=ex﹣k＞0对x∈R恒成立，

此时f（x）的单调递增，递增区间为（﹣∞，+∞）；

②当k＞0时，

由f'（x）=ex﹣k＞0，得到x＞lnk，

由f'（x）=ex﹣k＜0，得到x＜lnk，

所以，k＞0时，f（x）的单调递增区间是（lnk，+∞）；递减区间是（﹣∞，lnk）；

综上，当k≤0时，f（x）的单调递增区间为（﹣∞，+∞）

（2）解：当k＞0时，f（x）的单调递增区间是（lnk，+∞）；递减区间是（﹣∞，lnk），

当k＞0时，令f'（x）=ex﹣k=0，

得x=lnk，且f（x）在（﹣∞，lnk）上单调递减，在（lnk，+∞）上单调递增，f（x）在x=lnk时取得极小值，

即f（x）在（﹣∞，4]上最多存在两个零点．

（ⅰ）若函数f（x）在（﹣∞，4]上有2个零点，

则 ，

解得k∈（e， ]；

（ⅱ）若函数f（x）在（﹣∞，4]上有1个零点，

则f（4）＜0或 ，

解得k∈（ ，+∞）或k=e；

（ⅲ）若函数f（x）在（﹣∞，4]上没有零点，

则 或f（lnk）=k（1﹣lnk）＞0，

解得k∈（0，e）．

综上所述，当k∈（e， ]时，f（x）在（﹣∞，4]上有2个零点；

当k∈（ ，+∞）∪（﹣∞，0）或k=e时，f（x）在（﹣∞，4]上有1个零点；

当k∈[0，e）时，f（x）在（﹣∞，4]上无零点．

【解析】（1）由已知中函数的解析式，求出导函数的解析式，对k进行分类讨论，确定x在不同情况下导函数的符号，进而可得函数的单调性．（2）根据（1）中函数的单调性k＞0时，讨论k取不同值时函数零点个数，最后综合讨论结果，可得答案
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．