Question

【题目】已知函数f（x）=ex+ax+b（a≠0，b≠0）．
（1）若函数f（x）的图象在点（0，f（0））处的切线方程为y=2，求f（x）在区间[﹣2，1]上的最值；
（2）若a=﹣b，试讨论函数f（x）在区间（1，+∞）上零点的个数．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=ex+ax+b，∴f′（x）=ex+a，

∴f′（0）=1+a，

∵函数f（x）的图象在点（0，f（0））处的切线方程为y=2，

∴a=﹣1．

∵x=0，f（0）=2，

∴1+b=2，

∴b=1，

∴f（x）=ex﹣x+1，

∴f′（x）=ex﹣1，

当x＜0时，有f′（x）＜0，f（x）递减，

当x＞0时，有f′（x）＞0，f（x）递增．

则x=0处f（x）取得极小值，也为最小值，且为2，

又f（﹣2）=e﹣2+3，f（1）=e，f（2）＞f（1），

即有f（﹣2）为最大值e﹣2+3；

（2）解：若a=﹣b，f（x）=ex+ax﹣a=0，x＞1，﹣a= ，

令g（x）= ，则g′（x）= ，

当x＞2时，g′（x）＞0，g（x）递增，

当x＜1和1＜x＜2时，g′（x）＜0，g（x）递减．

即有x=2处g（x）取得极小值，为e2，

∴﹣a＜e2，即a＞﹣e2，函数f（x）在区间（1，+∞）上零点的个数为0；

﹣a=e2，即a=﹣e2，函数f（x）在区间（1，+∞）上零点的个数为1；

﹣a＞e2，即a＜﹣e2，函数f（x）在区间（1，+∞）上零点的个数为2．

【解析】（1）求出导数，利用函数f（x）的图象在点（0，f（0））处的切线方程为y=2，解得a=﹣1，b=1，求得极小值2，也为最小值，再求f（﹣2）和f（1），比较即可得到最大值；（2）若a=﹣b，f（x）=ex+ax﹣a=0，x＞1，﹣a= ，g（x）= ，求出导数，求得单调区间和极值，即可讨论函数f（x）在区间（1，+∞）上零点的个数．
【考点精析】通过灵活运用利用导数研究函数的单调性，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减即可以解答此题．