Question

4．已知数列{a_n}的前n项和为S_n=$\frac{1}{2}{n^2}$+pn，{b_n}的前n项和为T_n=2ⁿ-1，且a₄=b₄．
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）若对于数列{c_n}有，c_n=2（a_n-4）•b_n，请求出数列{c_n}的前n项和R_n．

Answer 1

分析 （1）由${b}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{{b}_{1}，n=1}\\{{T}_{n}-{T}_{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$，求出b_n，同理求出 ${a_n}=n+p-\frac{1}{2}$，再由a₄=b₄，能求出数列{a_n}、{b_n}的通项公式．
（2）由c_n=2（a_n-4）•b_n=n•2ⁿ，利用错位相减法能求出数列{c_n}的前n项和R_n．

解答 解：（1）∵数列{a_n}的前n项和为S_n=$\frac{1}{2}{n^2}$+pn，{b_n}的前n项和为T_n=2ⁿ-1，且a₄=b₄．
∴n=1时，b₁=T₁=2-1=1，
n≥2 时，${b_n}={T_n}-{T_{n-1}}={2^{n-1}}$，n=1时，该式成立，
$\therefore$ ${b_n}={2^{n-1}}$．
当n=1时，${a}_{1}={S}_{1}=\frac{1}{2}+p$，
n≥2时，${a_n}={S_n}-{S_{n-1}}=n+p-\frac{1}{2}$，
∵${a_1}={S_1}=\frac{1}{2}+p$，$\therefore$ ${a_n}=n+p-\frac{1}{2}$，
由a₄=b₄，得4+9-$\frac{1}{2}$=8，解得p=$\frac{9}{2}$，
∴a_n=n+4．
（2）由（1）得，c_n=2（a_n-4）•b_n=n•2ⁿ，
∴${R_n}=1•{2^1}+2•{2^2}+3•{2^3}+…+n•{2^n}$，①
$2•{R_n}=1•{2^2}+2•{2^3}+3•{2^4}+…+（n-1）•{2^n}+n•{2^{n+1}}$ ②
②-①得，${R_n}=n•{2^{n+1}}-（{2^1}+{2^2}+{2^3}+…+{2^n}）$
=$n•{2^{n+1}}-\frac{{2（1-{2^n}）}}{1-2}$=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2，

点评 本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．