Question

已知数列{log₂（a_n+1）}为等差数列，且a₁=3，a₂=7（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求证：

1

a2-a1

+

1

a3-a2

+…+

1

an+1-an

＜

1

2

．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）根据等差数列的定义求出数列的公差，即可求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求出

1

an+1-an

的表达式，利用等比数列的前n项和公式即可证明不等式．

解答： 解：（Ⅰ）设等差数列的公差为d，由a₁=3，a₂=7，
得log₂（3+1）=log₂4=2，log₂（7+1）=log₂8=3，
则d=3-2=1．
所以log₂（a_n+1）=2+（n-1）=n+1，
即a_n+1=2ⁿ⁺¹，
则a_n=2ⁿ⁺¹-1．
（Ⅱ）因为

1

an+1-an

=

1

2n+2-2n+1

=

1

2n+1

，
所以

1

a2-a1

+

1

a3-a2

+…+

1

an+1-an

=

1

22

+

1

23

+

1

24

+…+

1

2n+1

=

1 4 (1- 1 2n )

1- 1 2

=

1

2

(1-

1

2n

)＜

1

2

，
即不等式成立．

点评：本题主要考查等差数列的性质以及等比数列的前n项和公式的应用，考查学生的计算能力．