Question

已知函数f（x）=cos²ωx-sin²ωx（ω＞0）的最小正周期为6，过两点A（t，f（t）），B（t+1，f（t+1））的直线的斜率记为g（t）．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）写出函数g（t）的解析式，求g（t）在[-

3

2

，

3

2

]上的取值范围．

Answer 1

考点：二倍角的余弦,三角函数的周期性及其求法

专题：综合题,三角函数的求值

分析：（Ⅰ）化简函数f（x），利用最小正周期为6，求ω的值；
（Ⅱ）根据过两点A（t，f（t）），B（t+1，f（t+1））的直线的斜率，可得函数g（t）的解析式，再利用辅助角公式，化简函数，即可求g（t）在[-

3

2

，

3

2

]上的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）因为函数y=cos²ωx-sin²ωx=cos2ωx，最小正周期为6，
所以

2π

2ω

=6，所以ω=

π

6

；
（Ⅱ）g（t）=f（t+1）-f（t）=cos（

π

3

t+

π

3

）-cos

π

3

t=-sin（

π

3

t+

π

6

）
∵t∈[-

3

2

，

3

2

]，∴

π

3

t+

π

6

∈[-

π

3

，

2π

3

]，
∴sin（

π

3

t+

π

6

）∈[-

3

2

，1]，
∴-sin（

π

3

t+

π

6

）∈[-1，

3

2

]
∴g（t）在[-

3

2

，

3

2

]上的取值范围为[-1，

3

2

]．

点评：本题考查直线的斜率计算，考查三角函数的值域问题，考查学生的计算能力，正确确定函数解析式是关键．