Question

5A级景区沂山为提高经济效益，现对某一景点进行改造升级，提高旅游增加值，经过市场调查，旅游增加值y万元与投入x（x≥10）万元之间满足：y=f（x）=ax²+

101

50

x-bln

x

10

，a、b为常数，当x=10万元，y=19.2万元；当x=50万元，y=74.4万元．（参考数据：In2=0.7，In3=1.1，In5=1.6）
（1）求f（x）的解析式．
（2）求该景点改造升级后旅游利润T（x）的最大值．（利润=旅游增加值-投入）

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：应用题,函数的性质及应用

分析：（1）由条件：“当x=10万元时，y=19.2万元；当x=20万元时，y=35.7万元”列出关于a，b的方程，解得a，b的值即得则求f（x）的解析式；
（2）先写出函数T（x）的解析式，再利用导数研究其单调性，进而得出其最大值，从而解决问题．

解答： 解：（1）由条件可得

a×102+ 101 50 ×10-bln1=19.2 a×502+ 101 50 ×50-bln5=74.4

，
解得a=-

1

100

，b=1．
则f（x）=-

x2

100

+

101

50

x-ln

x

10

（x≥10）．
（2）由T（x）=f（x）-x=-

x2

100

+

51

50

x-ln

x

10

（x≥10），
则T′（x）=-

x

50

+

51

50

-

1

x

=-

(x-1)(x-50)

50x

，
令T'（x）=0，则x=1（舍）或x=50，
当x∈（10，50）时，T'（x）＞0，因此T（x）在（10，50）上是增函数；
当x＞50时，T'（x）＜0，因此T（x）在（50，+∞）上是减函数，
故x=50为T（x）的极大值点，也是最大值点，且最大值为24.4万元．
即该景点改造升级后旅游利润T（x）的最大值为T（50）=24.4万元．

点评：本小题主要考查函数模型的选择与应用、应用所学导数的知识、思想和方法解决实际问题的能力，建立函数式、解方程、不等式、最大值等基础知识．解决实际问题通常有四个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果；（4）转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型．