Question

已知f（x）=x²+1，对任意x∈（0，+∞），f（

x

m

）-2m²f（x）≤f（x-2）-2f（m）恒成立，则实数m的取值范围是（　　）

• A、（-∞，-

  2

  2

  ]∪[1，+∞）
• B、（-∞，-

  2

  2

  ]∪[

  2

  2

  ，+∞）
• C、（-∞，-1]∪[

  2

  2

  ，+∞）
• D、（-∞，-1]∪[1，+∞）

Answer 1

考点：函数恒成立问题,二次函数的性质

专题：综合题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：分离参数m后，圆不等式可化为

1

m2

-2m²≤1-

4

x

+

2

x2

，则问题转化为

1

m2

-2m²≤（1-

4

x

+

2

x2

）_min，利用导数可求最小值．

解答： 解：f（

x

m

）-2m²f（x）≤f（x-2）-2f（m），即(

x

m

)2+1-2m²（x²+1）≤（x-2）²+1-2（m²+1），
整理得（

1

m2

-2m²）x²≤x²-4x+2，
∵x∈（0，+∞），
∴

1

m2

-2m²≤1-

4

x

+

2

x2

，
令g（x）=1-

4

x

+

2

x2

（x＞0），
则g′（x）=

4

x2

-

4

x3

=

4(x-1)

x3

，
当0＜x＜1时，g′（x）＜0，g（x）递减；当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）递增．
∴x=1时，g（x）取得极小值，也为最小值，是g（1）=-1，
∴

1

m2

-2m²≤-1，解得m≤-1或m≥1，
故选D．

点评：该题考查函数恒成立、二次函数的性质，考查利用导数求函数的最值，考查转化思想，直接求函数最值或分离参数后求函数最值是解决恒成立问题的基本思路．