Question

8．已知函数f（x）=e^x（2x-1），g（x）=ax-a（a∈R）．
（1）若y=g（x）为曲线y=f（x）的一条切线，求a的值；
（2）若对任意的实数x都有f（x）≥g（x），求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出导数，设出切点（m，n），求得切线的斜率，由切线的方程，可得a=e^m（2m+1），又n=am-a=e^m（2m-1），解方程可得a的值；
（2）f（x）≥g（x）可化为e^x（2x-1）≥a（x-1），当x-1=0，即x=1时，e＞0恒成立，a∈R；当x-1＞0，即x＞1时，$a≤\frac{{{e^x}（2x-1）}}{x-1}$恒成立，构造函数求最值，即可得出a的取值范围．

解答 解：（1）f′（x）=e^x（2x-1）+2e^x=e^x（2x+1），
设切点为（m，n），由题意可得a=e^m（2m+1），
又n=am-a=e^m（2m-1），
解方程可得，a=1或$4{e}^{\frac{3}{2}}$．
（2）f（x）≥g（x）可化为e^x（2x-1）≥a（x-1），
当x-1=0，即x=1时，e＞0恒成立，a∈R；
当x-1＞0，即x＞1时，$a≤\frac{{{e^x}（2x-1）}}{x-1}$恒成立，
令$F（x）=\frac{{{e^x}（2x-1）}}{x-1}$，则$F'（x）=\frac{{{e^x}（2{x^2}-3x）}}{{{{（x-1）}^2}}}$，∴$F（x）在（{1，\;\;\frac{3}{2}}）上递减，在（{\frac{3}{2}，\;\;+∞}）上递增$，∴$F{（x）_{min}}=F（{\frac{3}{2}}）=4{e^{\frac{3}{2}}}$，∴$a≤4{e^{\frac{3}{2}}}$；
当x-1＜0，即x＜1时，$a≥\frac{{{e^x}（2x-1）}}{x-1}$恒成立，
令$F（x）=\frac{{{e^x}（2x-1）}}{x-1}$，则$F'（x）=\frac{{{e^x}（2{x^2}-3x）}}{{{{（x-1）}^2}}}$，∴F（x）在（-∞，0）上递增，在（0，1）上递减，∴F（x）_max=F（0）=1，∴a≥1，
综上所述：$1≤a≤4{e^{\frac{3}{2}}}$．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和极值、最值，涉及数形结合和转化的思想，属中档题．