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已知
(1) 求函数上的最小值;
(2) 若对一切恒成立,求实数的取值范围;
(3) 证明:对一切,都有成立.

(1);(2).

解析试题分析:(1)对函数求导,通过导数研究函数的单调性,再讨论的范围,以便得到上的单调性.从而得到函数的最小值;(2)由题意得到,即.再通过导数研究上的单调性,从而得,要想对一切恒成立,则;(3)问题等价于证明,由(1)可以得的最小值是,当且仅当时取到.再构造函数,通过导数研究单调性,由单调性研究函数的最大值. 对一切,都有成立,即证明要小于函数的最小值.在本问中,尽管二者相等,但因为不同时取到,故仍可满足题中的不等式.
试题解析:(1)
单调递减,当单调递增
,即时, 
,即时,上单调递增,;所以 
(2),则
,则
单调递减,当单调递增,
所以
所以.所以实数的取值范围为.
(3)问题等价于证明
由(1)可知的最小值是,当且仅当时取到,
,则,易知
,当且仅当时取到,
从而对一切,都有成立.
考点:1.用导数研究函数的单调性;2.通过单调性求最值;3.不等式恒成立问题.

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