已知函数.
(I)求函数的单调区间;
(Ⅱ)若,试解答下列两小题.
(i)若不等式对任意的恒成立,求实数的取值范围;
(ii)若是两个不相等的正数,且以,求证:.
(I)①当时,递增区间是;②当时,递增区间是,递减区间为;(Ⅱ)(i)实数的取值范围为;(ii)详见试题解析.
解析试题分析:(I)首先求函数的定义域,再求的导数,令下面分和讨论求函数的单调区间;(Ⅱ)(i)先由已知条件,将问题转化为设求函数的导数:,由此讨论可得在上为减函数,从而求得实数的取值范围;(ii)先根据已知条件把化简为,只要证设,构造函数利用导数可得在上单调递减,在上单调递增,最终证得.
试题解析:(I)解:函数的定义域为令
①当时,在上恒成立,∴递增区间是;
②当时,由可得,∴递增区间是,递减区间为. (6分)
(Ⅱ)(i)解:设则.
∵在上恒成立,∴在上为减函数,∴实数的取值范围为. (10分)
(ii)证明:
.设,则.
令,得,在上单调递减,在上单调递增
. (15分)
考点:1.导数与函数的单调性;2.利用导数求恒成立问题中的参数取值范围问题参数;3.利用导数证明不等式.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数,,
(Ⅰ)若,求函数的极值;
(Ⅱ)若函数在上单调递减,求实数的取值范围;
(Ⅲ)在函数的图象上是否存在不同的两点,使线段的中点的横坐标与直线的斜率之间满足?若存在,求出;若不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数若函数在x = 0处取得极值.
(1) 求实数的值;
(2) 若关于x的方程在区间[0,2]上恰有两个不同的实数根,求实数的取值范围;
(3) 证明:对任意的自然数n,有恒成立.
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