Question

16．假定某射手射击一次命中目标的概率为$\frac{2}{3}$．现有4发子弹，该射手一旦射中目标，就停止射击，否则就一直独立地射击到子弹用完．设耗用子弹数为X，求：
（1）X的概率分布；
（2）数学期望E（X）．

Answer 1

分析 （1）由已知得耗用子弹数X的所有可能取值为1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出X的概率分布．
（2）由X的概率分布能求出E（X）．

解答 解：（1）由已知得耗用子弹数X的所有可能取值为1，2，3，4．
当X=1时，表示射击一次，命中目标，则P（X=1）=$\frac{2}{3}$；
当X=2时，表示射击两次，第一次未中，第二次射中目标，则P（X=2）=（1-$\frac{2}{3}$）×$\frac{2}{3}$=$\frac{2}{9}$；…（2分）
当X=3时，表示射击三次，第一次、第二次均未击中，第三次击中，
则P（X=3）=（1-$\frac{2}{3}$）×（1-$\frac{2}{3}$）×$\frac{2}{3}$=$\frac{2}{27}$；…（4分）
当X=4时，表示射击四次，前三次均未击中，第四次击中或四次均未击中，
则P（X=4）=（1-$\frac{2}{3}$）×（1-$\frac{2}{3}$）×（1-$\frac{2}{3}$）×$\frac{2}{3}$+（1-$\frac{2}{3}$）×（1-$\frac{2}{3}$）×（1-$\frac{2}{3}$）×（1-$\frac{2}{3}$）=$\frac{1}{27}$．

X	1	2	3	4
P	$\frac{2}{3}$	$\frac{2}{9}$	$\frac{2}{27}$	$\frac{1}{27}$

X的概率分布为
…（6分）
（2）E（X）=1×$\frac{2}{3}$+2×$\frac{2}{9}$+3×$\frac{2}{27}$+4×$\frac{1}{27}$=$\frac{40}{27}$．    …（10分）

点评 本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年高考中都是必考题型．