Question

（本小题满分14分）

若一个数列各项取倒数后按原来的顺序构成等差数列，则称这个数列为调和数列．已知数列是调和数列，对于各项都是正数的数列，满足．
（Ⅰ）求证：数列是等比数列；
（Ⅱ）把数列中所有项按如图所示的规律排成一个三角形数表，
当时，求第行各数的和；
（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的数列，若数列满足
，求证：数列为等差数列.

Answer 1

（Ⅰ）证明：因为，且数列中各项都是正数，
所以 ．
设，               ①
因为数列是调和数列，故，．
所以．                                 ②
由①得，
代入②式得，即.
故. 所以数列是等比数列．    ………………………………5分
（Ⅱ）设的公比为，则，即．由于，故．
于是．
注意到第行共有个数，
所以三角形数表中第1行至第行共含有个数.
因此第行第1个数是数列中的第项.
故第行第1个数是，
所以第行各数的和为．  …………10分
（Ⅲ）由 ，得，
即，所以，        ①
                        ②
②—① 得 ，
即，  ③
，  ④
④-③ 得 ，即.
所以为等差数列．           ………………………………………………14分

略