Question

已知数列{a_n}满足a₁=18，a_n+1-a_n=3n，则

an

n

的最小值为

 

．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：利用叠加法求数列的通项，再利用导数和函数的单调性，可求

an

n

的最小值．

解答： 解：∵a_n+1-a_n=3n，a₁=18，
∴a_n=a₁+（a₂-a₁）+…+（a_n-a_n-1）=18+3[（1+2+…+（n-1）]=18+

3(n-1)(1+n-1)

2

=18+

3

2

n（n-1），
∴

an

n

=

18

n

+

3n

2

-

3

2

，
设f（x）=

18

n

+

3n

2

-

3

2

，
∴f′（x）=-

18

x2

+

3

2

，
当f′（x）＞0，即x＞2

3

，函数f（x）为增函数，
当f′（x）＜0，即x＜2

3

，函数f（x）为减函数，
当x=2

3

时函数有最小值，
∵f（3）=

18

3

+

3×3

2

-

3

2

=9，f（4）=

18

4

+

12

2

-

3

2

=9，
∴当n=3，或n=4时，则

an

n

的最小值为9，
故答案为：9

点评：本题考查叠加法求数列的通项，考查导数和函数的单调性的关系，正确确定数列的通项是关键．