Question

【题目】已知三次函数过点，且函数在点处的切线恰好是直线.

（Ⅰ）求函数的解析式；

（Ⅱ） 设函数，若函数在区间上有两个零点，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(1)f（x）=x3﹣3x2(2)[﹣1，6）．

【解析】分析：（1）根据已知条件即可建立关于b、c、d的三个方程，解方程即可求出b、c、d，从而求出函数的解析式；

（2）由已知条件得：f（x）﹣g（x）=0在[﹣2，1]上有两个不同的解，即x3﹣3x2﹣9x﹣m+1=0在区间[﹣2，1]有两个不同的解，即m=x3﹣3x2﹣9x+1在[﹣2，1]上有两个不同解，求函数x3﹣3x2﹣9x+1在区间[﹣2，1]上的取值范围，要使方程有两个不同的解，从而求出因满足的范围，这样便求出了的取值范围.

详解：（1）f′（x）=3x2+2bx+c，由已知条件得：

，解得b=﹣3，c=d=0；

∴f（x）=x3﹣3x2

（2）由已知条件得：f（x）﹣g（x）=0在[﹣2，1]上有两个不同的解；

即x3﹣3x2﹣9x﹣m+1=0在区间[﹣2，1]有两个不同的解；

即m=x3﹣3x2﹣9x+1在[﹣2，1]上有两个不同解．

令h（x）=x3﹣3x2﹣9x+1，h′（x）=3x2﹣6x﹣9，x∈[﹣2，1]；

解3x2﹣6x﹣9＞0得：﹣2≤x＜﹣1；解3x2﹣6x﹣9＜0得：﹣1＜x≤1；

∴h（x）max=h（﹣1）=6，又f（﹣2）=﹣1，f（1）=﹣10，∴h（x）min=﹣10；

m=h（x）在区间[﹣2，1]上有两个不同的解，∴﹣1≤m＜6．

∴实数m的取值范围是[﹣1，6）．