Question

6．极坐标系中，曲线ρ²=$\frac{1}{1+si{n}^{2}θ}$与直线ρsinθ-$\sqrt{3}$ρcosθ+$\frac{\sqrt{3}}{2}$=0交于A、B两点，定点P（$\frac{1}{2}$，0），求|PA|•|PB|的值．

Answer 1

分析 求出曲线的直角坐标方程和直线的参数方程，利用参数得几何意义得出|PA|•|PB|的值．

解答 解：∵ρ²=$\frac{1}{1+si{n}^{2}θ}$，∴ρ²+ρ²sin²θ=1，即x²+2y²=1．
直线方程为y-$\sqrt{3}$x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$=0，∴直线的倾斜角为60°．
∵直线过点P（$\frac{1}{2}$，0），不妨设直线的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）．
将$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$代入曲线方程x²+2y²=1得7t²+2t-3=0．
设A，B对应的参数分别为t₁，t₂，则t₁t₂=-$\frac{3}{7}$．
∴|PA|•|PB|=|t₁||t₂|=|t₁t₂|=$\frac{3}{7}$．

点评 本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，参数方程的几何意义，属于中档题．