Question

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中（如图），AD=AA₁=1，AB=3，点E是棱AB上的点，当AE=2EB时，求异面直线AD₁与EC所成角的大小，并求此时点C到平面D₁DE的距离．

Answer 1

【答案】分析：（解法一）：以DA为x轴，以DC为y轴，以DD₁为z轴，建立空间直角坐标系则E（1，2，0），A（1，0，0），D（0，0，0），D₁（0，0，1），C（0，3，0），由向量法能求出异面直线AD₁与EC所成角的大小．
设点C到平面DED₁的距离为h，，，由，能求出点C到平面D₁DE的距离．
（解法二）作AE'∥CE交CD于E'，则∠D₁AE′的大小即为异面直线AD₁与EC所成角的大小．由AB=3，AE=2EB，知EB=1，DE′=1，因为AD=DD₁=1，所以，，所以△AD₁E'为正三角形，由此能求出异面直线AD₁与EC所成角的大小．
设点C到平面DED₁的距离为h，，，由，能求出点C到平面D₁DE的距离．
解答：解：（解法一）：（如图）以DA为x轴，以DC为y轴，以DD₁为z轴，建立空间直角坐标系．
∵AB=3，AE=2EB，
∴EB=1，AE=2，
则E（1，2，0），A（1，0，0），D（0，0，0），D₁（0，0，1），C（0，3，0），---（2分）
，，
设与的夹角为θ，
则，
∴，…..（5分）
从而异面直线AD₁与EC所成角的大小为．…..（6分）
设点C到平面DED₁的距离为h，
，（8分）．
，（10分）
由，
得，
∴．…．（12分）
（解法二）作AE'∥CE交CD于E'，
则∠D₁AE′的大小即为异面直线AD₁与EC所成角的大小．（2分）
∵AB=3，AE=2EB，
∴EB=1，
∴DE′=1，
因为AD=DD₁=1，
所以，（4分）
而，
所以△AD₁E'为正三角形，
，
从而异面直线AD₁与EC所成角的大小为．（6分）
设点C到平面DED₁的距离为h，
，（8分）．
，（10分）
由
得，
∴．（12分）
点评：本题考查点、线、面间距离的计算，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．