Question

20．已知函数f（x）=2lnx+$\frac{1}{x}$．
（1）求函数f（x）的单调区间和极值；
（2）若对于任意的x∈[1，+∞）及t∈[1，2]，不等式f（x）≥t²-2mt+2恒成立，试求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求出函数的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的极值；
（2）将问题转化为t²-2mt+1≤0对?t∈[1，2]恒成立，得不等式组，解出即可．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{2}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{2x-1}{{x}^{2}}$=0⇒x=$\frac{1}{2}$，
列表如下：

x	（0，$\frac{1}{2}$）	$\frac{1}{2}$	（$\frac{1}{2}$，+∞）
f'（x）	-	0	+
f（x）	↘	极小值2-2ln2	↗

所以，f（x）单调递减区间为（0，$\frac{1}{2}$），单调递增区间为（$\frac{1}{2}$，+∞），极小值是2-2ln2，无极大值．
（2）由（1）可知f（x）在（1，+∞）上单调递增，
所以t²-2mt+2≤f（x）_min=f（1）=1即t²-2mt+1≤0对?t∈[1，2]恒成立，
所以 $\left\{\begin{array}{l}{1-2m+1≤0}\\{4-4m+1≤0}\end{array}\right.$，解得m≥$\frac{5}{4}$．

点评 本题考查了函数的单调性，函数的极值问题，考查了导数的应用，不等式恒成立问题，是一道综合题．