Question

7．已知函数f（x）=$\frac{2alnx}{x+1}$+b在x=1处的切线方程为x+y-3=0．
（1）求a，b．
（2）证明：当x＞0，且x≠1时，f（x）＞$\frac{2lnx}{x-1}$．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，根据f（1）=2，f′（1）=-1，求出a，b的值即可；
（2）问题转化为$\frac{x}{{x}^{2}-1}$（x-$\frac{1}{x}$-2lnx）＞0，令g（x）=x-$\frac{1}{x}$-2lnx，（x＞0），求出g（x）的单调区间，从而证出结论即可．

解答 解：（1）f（x）的定义域是（0，+∞），
f（x）=$\frac{2alnx}{x+1}$+b，切点是（1，2），
∴f（1）=b=2，
f′（x）=$\frac{2a（1+\frac{1}{x}-lnx）}{{（x+1）}^{2}}$，
∴f′（1）=a=-1，
故a=-1，b=2；
（2）证明：由（1）得：f（x）=$\frac{-2lnx}{x+1}$+2，f（x）＞$\frac{2lnx}{x-1}$，
∴$\frac{x}{{x}^{2}-1}$（x-$\frac{1}{x}$-2lnx）＞0，
令g（x）=x-$\frac{1}{x}$-2lnx，（x＞0），
则g′（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}$（x-1）²＞0，
∴g（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递增，
∵g（1）=0，∴g（x）＞0?x＞1，g（x）＜0?0＜x＜1，
∴x＞1时，$\frac{x}{{x}^{2}-1}$g（x）＞0，0＜x＜1时，$\frac{x}{{x}^{2}-1}$g（x）＞0，
x＞0且x≠1时，$\frac{x}{{x}^{2}-1}$（x-$\frac{1}{x}$-2lnx）＞0，
∴当x＞0，且x≠1时，f（x）＞$\frac{2lnx}{x-1}$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，是一道中档题．