Question

函数f（x）=a^x-1+log_ax，（a＞0，a≠1）在区间

1

，

2

上的最大值和最小值的和为a，则实数a的值为

 

．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：函数的性质及应用

分析：由已知可知，函数y=a^x-1 和y=log_ax有相同的单调性，通过分0＜a＜1和a＞1两种情况讨论f（x）的单调性，分别求出其最大（小）值，列出关于a的方程求解．

解答： 解：①当a＞1时，函数y=a^x-1 和y=log_ax在[1，2]上都是增函数，
∴f（x）=a^x-1+log_ax在[1，2]上递增，
∴f（x）_max+f（x）_min=f（2）+f（1）=a+log_a2+1=a，
∴log_a2=-1，得a=

1

2

（舍去）；
②当0＜a＜1时，函数y=a^x-1 和y=log_ax在[1，2]上都是减函数，
∴f（x）=a^x-1+log_ax在[1，2]上递减，
∴f（x）_max+f（x）_min=f（2）+f（1）=a+log_a2+1=a，
∴log_a2=-1，得a=

1

2

，
综上，a的值为

1

2

，
故答案为：

1

2

点评：求函数的最值问题，一般利用函数的单调性来求；而对于指对函数研究其单调性时，要分底数a＞1或0＜a＜1进行讨论；同时本题还要注意根据a的范围去掉绝对值符号达到化简的目的．