Question

4．若14400所有正因数从小到大构成的数列d₁，d₂，…，d_n，则S_n=$\frac{1}{{d}_{1}}$+$\frac{1}{{d}_{2}}$+…+$\frac{1}{{d}_{n}}$=$\frac{51181}{14400}$．

Answer 1

分析 由于14400=2⁶•3²•5²，即有正因数的个数为7×3×3=63，分别写出所有的正因数，再由因式分解和等比数列的求和公式，即可得到所求和．

解答 解：由于14400=2⁶•3²•5²，
即有正因数的个数为7×3×3=63，
则S₆₃=（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{64}$）+（$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{9}$+$\frac{1}{25}$+$\frac{1}{15}$+$\frac{1}{45}$+$\frac{1}{75}$+$\frac{1}{225}$）
+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{9}$+$\frac{1}{25}$+$\frac{1}{15}$+$\frac{1}{45}$+$\frac{1}{75}$+$\frac{1}{225}$）+$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{9}$+$\frac{1}{25}$+$\frac{1}{15}$+$\frac{1}{45}$+$\frac{1}{75}$+$\frac{1}{225}$）
+…+$\frac{1}{64}$（$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{9}$+$\frac{1}{25}$+$\frac{1}{15}$+$\frac{1}{45}$+$\frac{1}{75}$+$\frac{1}{225}$）
=（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{64}$）（1+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{9}$+$\frac{1}{15}$+$\frac{1}{25}$+$\frac{1}{45}$+$\frac{1}{75}$+$\frac{1}{225}$）
=$\frac{1-\frac{1}{{2}^{7}}}{1-\frac{1}{2}}$•$\frac{403}{225}$=$\frac{51181}{14400}$．
故答案为：$\frac{51181}{14400}$．

点评 本题考查自然数的正因数的求法，以及等比数列的求和公式，考查运算能力，属于中档题．