Question

已知点A（-1，0）、B（1，0），直线AM与BM相交于点M，且它们的斜率之积为-2，
（1）求动点M的轨迹E的方程；
（2）若过点N（1，1）的直线l与曲线E交于C、D两点，且

OC

•

OD

=0，求直线l的方程．

Answer 1

（1）由题意可得：设M（x，y），
所以直线AM与直线BM的斜率分别为

y

x+1

，

y

x-1

，
因为直线AM与直线BM的斜率之积为-2，
所以

y

x+1

•

y

x-1

=-2，化简得：x2+

y2

2

=1(y≠0)．
所以动点M的轨迹E的方程为x2+

y2

2

=1(y≠0)．
（2）根据题意可得直线l的斜率存在，所以设l：y-1=k（x-1），C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
联立方程组得：

y=kx+1-k 2x2+y2=2

?2x2+(kx+1-k)2=2
所以整理可得：（2+k²）x²+2k（1-k）x+（1-k）²-2=0
所以根据根与系数的关系可得：

△＞0 x1+x2= 2k(k-1) 2+k2 x1x2= (1-k)2-2 2+k2

因为

OC

•

OD

=0，所以x₁x₂+y₁y₂=0，即（1+k²）x₁x₂+k（1-k）（x₁+x₂）+（1-k）²=0，
所以(1+k2)•

k2-2k-1

2+k2

+k(k-1)•

2k(1-k)

2+k2

+(1-k)2=0，
所以k2-6k+1=0解得k=3±2

2

．
所以直线l的方程y-1=(3±2

2

)(x-1)．