Question

已知方程C：x²+y²-4x-4y+a=0      
（1）若方程C表示圆，求实数a的取值范围；
（2）方程C中，当a=-17时，求过点（7，-6）且与圆C相切的切线方程；
（3）若（1）中的圆C与直线l：2x-y-3=0相交于A，B两点，且OA⊥OB（O为坐标原点），求实数a的值．

Answer 1

考点：二元二次方程表示圆的条件,圆的切线方程

专题：直线与圆

分析：（1）由方程C：x²+y²-4x-4y+a=0配方为（x-2）²+（y-2）²=8-a，由于方程C表示圆，必需8-a＞0，解得a即可．
（2）分类讨论：当切线的斜率存在时，设切线的方程为：l：y+6=k（x-7），利用直线与圆相切的性质即可得出．斜率不存在时直接得出即可．
（3）把直线l的方程与圆的方程联立可得根与系数的关系，再利用OA⊥OB?

OA

•

OB

=0即可得出．

解答： 解：（1）由方程C：x²+y²-4x-4y+a=0配方为（x-2）²+（y-2）²=8-a，
∵方程C表示圆，∴8-a＞0，解得a＜8．
∴a＜8时，方程C表示圆的方程．
即实数a的取值范围是（-∞，8）．
（2）当k=-17时，方程C为：（x-2）²+（y-2）²=25，圆心C（2，2），R=5．
∵P在圆外，∴有2条切线．
设斜率存在时切线l的斜率为 k，则 l：y+6=k（x-7），即l：kx-y-7k-6=0 
由

|2k-2-7k-6|

k2+1

=5，化简得 80k+39=0，解得k=-

39

80

．
∴代入l方程得其中一条切线为 l_1： 39x+80y-207=0．
由图象知另一条切线为 l₂：x=7．
（3）设直线l∩圆C于点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵OA⊥OB，∴

OA

⊥

OB

，
∴

OA

•

OB

=0，
∴x₁x₂+y₁y₂=0…①
由l方程得 y=2x-3 代入方程C消去y得 5x²-24x+21+a=0，
 由根与系数关系x₁+x₂=

24

5

，x₁x₂=

21+a

5

…②
又A，B∈l，∴y₁=2x₁-3，y₂=2x₂-3．
∴y₁y₂=4x₁x₂-6（x₁+x₂）+9…③，
把②③代入①得  5x₁x₂-6（x₁+x₂）+9=0，
∴5×

21+a

5

-6×

24

5

+9=0，
化为5a+6=0，
解得a=-

6

5

．

点评：本题考查了二次方程与圆的方程之间的关系、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式、直线与圆的相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、OA⊥OB?

OA

•

OB

=0、配方法等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．