Question

（本小题满分14分）已知函数，其中是自然对数的底数．

（Ⅰ）判断函数在内的零点的个数，并说明理由；

（Ⅱ），使得不等式成立，试求实数的取值范围；

（Ⅲ）若，求证：．

Answer 1

（Ⅰ）函数在上的零点的个数为1; （Ⅱ）;（Ⅲ）详见解析.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）因为，所以．因为，所以，所以函数在上是单调递增函数．因为，，根据函数零点存在性定理得函数在上的零点的个数为1．（Ⅱ）因为不等式等价于，所以 ，使得不等式成立，等价于，即．利用导数，解不等式即可求出结果；（Ⅲ）采用分析证明发，利用导数在函数单调性中的应用，以及直线与圆的位置关系即可求证结论.

试题解析：【解析】
（Ⅰ）函数在上的零点的个数为1． 1分

理由如下：

因为，所以． 2分

因为，所以，

所以函数在上是单调递增函数． 3分

因为，，

根据函数零点存在性定理得

函数在上的零点的个数为1． 4分

（Ⅱ）因为不等式等价于，

所以 ，使得不等式成立，等价于

，即． 6分

当时，，故在区间上单调递增，所以时，取得最小值． 7分

又，由于，

所以，故在区间上单调递减，

因此，时，取得最大值． 8分

所以，所以．

所以实数的取值范围是． 9分

（Ⅲ）当时，要证，只要证，

只要证，

只要证，

由于，只要证． 10分

下面证明时，不等式成立．

令，则，

当时，，单调递减；

当时，，单调递增．

所以当且仅当时，取得极小值也就是最小值为1．

令，其可看作点与点连线的斜率，

所以直线的方程为：，

由于点在圆上，所以直线与圆相交或相切，

当直线与圆相切且切点在第二象限时，

直线取得斜率的最大值为． 12分

故时，；时，． 13分

综上所述，当时，成立． 14分.

考点：1.利用导数判断函数的单调性；2.导数在不等式证明中的应用；3.恒成立问题.