Question

【题目】已知圆和圆．

（1）判断圆和圆的位置关系；

（2）过圆的圆心作圆的切线，求切线的方程；

（3）过圆的圆心作动直线交圆于A，B两点．试问：在以AB为直径的所有圆中，是否存在这样的圆，使得圆经过点？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）外离；

（2）或；

（3）存在圆：或，使得圆经过点 。

【解析】

试题分析：（1）求出两圆的圆心距，在比较其与 的大小关系，从而确定两圆的位置关系；（2）由点

斜式设出切线方程，然后用点线距离公式建立关于的方程；（2）斜率不存在时，易知圆也是满足题意的圆；斜率存在时，假设存在以为直径的圆经过点，则，所以，则可得，再把直线方程与圆的方程联立可求，，代入上式可得关于的方程。

(1)因为圆的圆心，半径，圆的圆心，径，

所以圆和圆的圆心距，

所以圆与圆外离. 3分

（2）设切线的方程为：，即，

所以到的距离，解得.

所以切线的方程为或. ....7分

(3)ⅰ）当直线的斜率不存在时，直线经过圆的圆心，此时直线与圆的交点为，，即为圆的直径，而点在圆上，即圆也是满足题意的圆．.......8分

ⅱ）当直线的斜率存在时，设直线，由，

消去整理，得，

由△，得或．

设，则有 ① 9分

由①得， ②

， ③

若存在以为直径的圆经过点，则，所以，

因此，即， 10分

则，所以，，满足题意．

此时以为直径的圆的方程为，

即，亦即． 12分

综上，在以AB为直径的所有圆中，存在圆：或

，使得圆经过点． 14分