Question

已知函数f（x）=3-2log₂x，g（x）=log₂x．
（1）如果x∈[1，4]，求函数h（x）=（f（x）+1）g（x）的值域；
（2）求函数M(x)=

f(x)+g(x)-|f(x)-g(x)|

2

的最大值；
（3）如果对不等式f(x2)f(

x

)＞kg(x)中的任意x∈[1，4]，不等式恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）令t=log₂x，将h（x）转化成关于t的二次函数，然后根据t的范围求出函数的值域即可；
（2）去掉绝对值得M(x)=

g(x)  f(x)≥g(x) f(x)   f(x)＜g(x)

，设f（x）与g（x）中较小的值为M，根据①t≥M，②3-2t≥M求出M的范围，最后根据最大值的定义求出最大值结果；
（3）由f(x2)f(

x

)＞kg(x)得：（3-4log₂x）（3-log₂x）＞klog₂x，将参数k进行分离，然后求出另一侧的最小值即可求出k的范围．

解答：解：令t=log₂x
（1）h（x）=（4-2log₂x）•log₂x=-2（t-1）²+2，x∈[1，4]，
∴t∈[0，2]
∴h（x）的值域为[0，2]
（2）∵M(x)=

g(x)  f(x)≥g(x) f(x)   f(x)＜g(x)

设f（x）与g（x）中较小的值为M
①t≥M，②3-2t≥M
①×2+②得3M≤3，M≤1
当t=1，x=2时，M=1∴M（x）max=1
（3）由f(x2)f(

x

)＞kg(x)得：（3-4log₂x）（3-log₂x）＞klog₂x
∵x∈[1，4]∴t∈[0，2]
∴（3-4t）（3-t）＞kt对于一切t∈[0，2]恒成立
①当t=0时，k∈R
②t∈（0，2）时，k＜

(3-4t)(3-t)

t

恒成立，即k＜4t+

9

t

-15
∵4t+

9

t

≥12，当且仅当4t=

9

t

即t=

3

2

时取等号
∴4t+

9

t

-15的最小值为-3，综上：k＜-3

点评：本题主要考查了函数的最值及其几何意义，以及函数值和函数恒成立等有关知识，同时考查了转化与划归的思想，属于综合题．