Question

已知函数f(x)＝ax²－2x＋1.

(1)试讨论函数f(x)的单调性．

(2)若≤a≤1，且f(x)在[1,3]上的最大值为M(a)，最小值为N(a)，令g(a)＝M(a)－N(a)，求g(a)的表达式．

(3)在(2)的条件下，求证：g(a)≥

Answer 1

解　(1)当a＝0时，函数f(x)＝－2x＋1在(－∞，＋∞)上为减函数；

当a>0时，抛物线f(x)＝ax²－2x＋1开口向上，对称轴为x＝，

所以函数f(x)在上为减函数，在上为增函数；

当a<0时，抛物线f(x)＝ax²－2x＋1开口向下，对称轴为x＝，

所以函数f(x)在上为增函数，在上为减函数．

(2)因为f(x)＝a²＋1－，

由≤a≤1得1≤≤3，

所以N(a)＝f＝1－.

当1≤<2，即<a≤1时，M(a)＝f(3)＝9a－5，故g(a)＝9a＋－6；

当2≤≤3，即≤a≤时，M(a)＝f(1)＝a－1，

故g(a)＝a＋－2.

所以

(3)证明：当a∈时，g′(a)＝1－<0，

所以函数g(a)在上为减函数；

当a∈时，g′(a)＝9－>0，

所以函数g(a)在上为增函数，

所以当a＝时，g(a)取最小值，

g(a)_min＝g＝.

故g(a)≥.