Question

4．求函数y=log_0.5（-x²+8）的值域及单调区间．

Answer 1

分析 设t=-x²+8，利用复合函数单调性之间的关系进行求解即可．

解答 解：设t=-x²+8，则由-x²+8＞0得，-2$\sqrt{2}$＜x＜2$\sqrt{2}$，即函数的定义域为（-2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$），
∵t=-x²+8∈（0，8]，y=log_0.5t为减函数，
∴log_0.5t≥log_0.58=-3，
即函数的值域为[-3，+∞）．
∵t=-x²+8的对称轴x=0，
∴当x∈（-2$\sqrt{2}$，0]，函数t=-x²+8为增函数，此时函数y=log_0.5（-x²+8）为减函数，
当x∈[0，2$\sqrt{2}$），函数t=-x²+8为减函数，此时函数y=log_0.5（-x²+8）为增函数，
故函数的单调递增区间为[0，2$\sqrt{2}$），单调递减区间为（-2$\sqrt{2}$，0]．

点评 本题主要考查函数值域和单调区间的求解，利用换元法结合复合函数单调性之间的关系是解决本题的关键．