Question

如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥CD，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中点．
（1）求二面角P-AC-M的平面角的余弦值；
（2）在棱PC上是否存在点N，使DN∥平面AMC，若存在，确定点N的位置；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）如图建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），M（0，1，），C（1，1，0），B（0，2，0），P（0，0，1）…（1分）
∴，
设平面AMC的一个法向量
由，取x=1，则y=-1，z=2，∴=（1，-1，2）…（3分）
又∵=（1，-1，0）•（1，1，0）=0，
∴是平面PAC的一个法向量，…（5分）
∴cos＜，＞=，
所求二面角的余弦值为…（6分）
（2）存在，且N为PC中点
设，=（λ-1，λ，1-λ）…（9分）
依题意知，，
∴λ=，
∴，即N为PC中点…（12分）
分析：（1）建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出平面AMC的一个法向量，平面PAC的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求得二面角P-AC-M的平面角的余弦值；
（2）存在，且N为PC中点，利用，可得结论．
点评：本题考查面面角，考查线面平行，考查利用向量方法解决立体几何问题，解题的关键是确定平面的法向量．