Question

11．已知曲线${C_1}：\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{2}cosθ\\ y=sinθ\end{array}\right.$（θ为参数）与曲线${C_2}：\left\{\begin{array}{l}x=t\\ y=kt-2\end{array}\right.$（t为参数）有一个公共点，则实数k的值为$±\frac{{\sqrt{6}}}{2}$．

Answer 1

分析 根据平方关系得到C₁的普通方程，消去参数得到C₂的普通方程，联立两个普通方程消去y，利用△=0列出方程求出k的值即可．

解答 解：由题意知，曲线${C}_{1}：\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$，
消去θ得，$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$，
由曲线${C}_{2}：\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=kt-2}\end{array}\right.$得，y=kx-2，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-2}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$得，$（{k}^{2}+\frac{1}{2}）{x}^{2}-4kx+3=0$，
所以△=16${k}^{2}-4（{k}^{2}+\frac{1}{2}）×3$=4k²-6=0，
解得k=$±\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，
故答案为：$±\frac{{\sqrt{6}}}{2}$．

点评 本题考查参数方程化为普通方程，平方关系，以及利用代数法解决直线与椭圆的位置关系，属于中档题．