Question

如图，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面A₁B₁C₁D₁是梯形，且A₁B₁∥D₁C₁，A₁D₁=D₁D=D₁C₁=

1

2

A1B1=1，AD₁⊥A₁C，E是棱A₁B₁的中点．
（1）求证：CD⊥AD；
（2）求点C₁到平面CD₁B₁的距离；
（3）求二面角D₁-CE-B₁的大小．

Answer 1

分析：（1）连结A₁D，由正方形的性质得AD₁⊥DA₁，结合AD₁⊥A₁C证出AD₁⊥平面A₁CD，从而AD₁⊥CD．再由直棱柱的性质得DD₁⊥CD，利用线面垂直的判定定理得CD⊥平面AA₁D₁D，从而证出CD⊥AD；
（2）算出△CD₁B₁中各边长，从而得到△CD₁B₁为直角三角形，得到△CD₁B₁的面积，根据三棱锥C-C₁D₁B₁的体积等于三棱锥C₁-CD₁B₁的体积，建立等式即可解出点C₁到平面CD₁B₁的距离为h．
（3）取CE的中点F，连结D₁F，由（2）的结论得△D₁CE是正三角形，可得D₁F⊥CE，结合CE∥A₁D得A₁B₁⊥CE．取CB₁的中点G，连结FG则CE⊥FG，得∠D₁FG是二面角D₁-CE-B₁的平面角．然后在△D₁FG中，根据D₁F、FG的长，算出D₁G长．最后在△D₁FG中，由余弦定理算出cos∠D1FG=-

6

3

，即可得到二面角D₁-CE-B₁的大小．

解答：解：（1）连结A₁D，
∵四边形A₁D₁DA是正方形，∴AD₁⊥DA₁，
又∵AD₁⊥A₁C，DA₁、A₁C是平面A₁CD内的相交直线，
∴AD₁⊥平面A₁CD，
∵CD?平面A₁CD，∴AD₁⊥CD，
又∵DD₁⊥CD，DD₁、AD₁是平面AA₁D₁D内的相交直线，
∴CD⊥平面AA₁D₁D，
∵AD?平面AA₁D₁D，∴CD⊥AD…（5分）
（2）用等体积法：
设点C₁到平面CD₁B₁的距离为h，
在△CD₁B₁中，CD1=

2

，D1B1=

5

，CB1=

3

，
∴△CD₁B₁为直角三角形，
由VC-C1D1B1=VC1-CD1B1，得

1

3

×1×

1

2

×1×

2

sin135°=

1

3

×

1

2

×

2

×

3

×h，
解之得h=

6

6

，
∴点C₁到平面CD₁B₁的距离为

6

6

．
（3）由（2）得D1E=D1C=CE=A1D=

2

，
取线段CE的中点F，连结D₁F，则D₁F⊥CE，
∵CE∥A₁D，∴A₁B₁⊥CE，
再取线段CB₁的中点G，连结FG
∴FG∥EB₁，可得CE⊥FG，得∠D₁FG是二面角D₁-CE-B₁的平面角，
在△D₁FG中，D1F=

6

2

，FG=

1

2

，取线段B₁C₁的中点L，连结GL，
则D1G2=GL2+D1L2，
在△D₁C₁L中，D1L2=1+

1

2

-2•1•

2

2

cos135°=

5

2

，
∴D1G2=

5

2

+

1

4

=

11

4

，
△D₁FG中，由余弦定理，得cos∠D1FG=

( 6 2 )2+( 1 2 )2- 11 4

2• 6 2 • 1 2

=-

6

3

，
∴二面角D₁-CE-B₁的大小为arccos(-

6

3

)．…（14分）

点评：本题在直四棱柱中证明线面垂直，求二面角的大小并求点到平面的距离．着重考查了直四棱柱的性质、线面垂直的判定与性质、等体积法求点面距离和二面角的平面角的定义与求法等知识，属于中档题．