设函数f(x)=ex-ax.其中e是自然对数的底数.a∈R．的图象在x=ln2处的切线l的倾斜角为0.求切线l的方程,图象为曲线C.设点A(x1.f(x1)).B(x2.f(x2))(x1＜x2)是曲线C上不同的两定点.记直线AB的斜率为k．①若x1=-x2.点M为线段AB的中点.过点M作x轴的垂线交曲线C于点N.试问.曲线C在点N处的切线是否平行于直线AB?请说明理由,� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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11．设函数f（x）=e^x-ax，其中e是自然对数的底数，a∈R．
（1）若函数y=f（x）的图象在x=ln2处的切线l的倾斜角为0，求切线l的方程；
（2）记函数y=f（x）图象为曲线C，设点A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））（x₁＜x₂）是曲线C上不同的两定点，记直线AB的斜率为k．
①若x₁=-x₂，点M为线段AB的中点，过点M作x轴的垂线交曲线C于点N，试问，曲线C在点N处的切线是否平行于直线AB？请说明理由；
②是否存在x₀∈（x₁，x₂），使f′（x₀）＜k？若存在，求x₀的取值范围；若不存在，请说明理由．

分析（1）求导数，利用函数y=f（x）的图象在x=ln2处的切线l的倾斜角为0，求出a，即可求切线l的方程；
（2）①设出线段AB的中点M的坐标，得到N的坐标，由两点式求出AB的斜率，再由导数得到曲线C过N点的切线的斜率，由斜率相等得$\frac{{e}^{{x}_{2}}-{e}^{{x}_{1}}}{2{x}_{2}}$-a=1-a，构造函数，确定单调性，即可得出结论；
②根据题意，由直线的斜率公式可得，k=$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$，令φ（x）=f′（x）-k=e^x-$\frac{{e}^{{x}_{2}}-{e}^{{x}_{1}}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$，可以求出φ（x₁）与φ（x₂）的值，令F（t）=e^t-t-1，求导可得F′（t）=e^t-1，分t＞0与t＜0讨论可得F（t）的最小值为F（0）=0，则当t≠0时，F（t）＞F（0）=0，即e^t-t-1＞0，进而讨论可得φ（x₁）＜0、φ（x₂）＞0，结合函数的连续性分析可得答案．

解答解：f′（x）=e^x-a．
（1）由函数y=f（x）的图象在x=ln2处的切线l的倾斜角为0，
即f′（ln2）=tan0=0，
则e^ln2-a=0，即a=2，
又f（ln2）=2-2ln2，
故切线l的方程为y=2-2ln2；
（2）①由题意知x₁=-x₂，k=$\frac{{e}^{{x}_{2}}-{e}^{{x}_{1}}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$-a=$\frac{{e}^{{x}_{2}}-{e}^{{x}_{1}}}{2{x}_{2}}$-a，
点N的横坐标为$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=0，
曲线C在点N处切线斜率k′=f′（0）=1-a，
假设曲线C在点N处的切线平行于直线AB，
则$\frac{{e}^{{x}_{2}}-{e}^{{x}_{1}}}{2{x}_{2}}$-a=1-a，即${e}^{{x}_{2}}$-$\frac{1}{{e}^{{x}_{2}}}$-2x₂=0，其中x₂＞0，
设g（x）=e^x-$\frac{1}{{e}^{x}}$-2x（x＞0），g′（x）=）=e^x+$\frac{1}{{e}^{x}}$-2≥0，
则g（x）在（0，+∞）上单调递增，则g（x）＞g（0）=0，
故${e}^{{x}_{2}}$-$\frac{1}{{e}^{{x}_{2}}}$-2x₂=0不成立，
因此曲线C在点N处的切线不平行于直线AB；
②由题意知，k=$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$，．
令φ（x）=f′（x）-k=e^x-$\frac{{e}^{{x}_{2}}-{e}^{{x}_{1}}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$，
则φ（x₁）=-$\frac{{e}^{{x}_{1}}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$[${e}^{{x}_{2}-{x}_{1}}$-（x₂-x₁）-1]，
φ（x₂）=$\frac{{e}^{{x}_{2}}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$[${e}^{{x}_{1}-{x}_{2}}$-（x₁-x₂）-1]．
令F（t）=e^t-t-1，则F'（t）=e^t-1．
当t＜0时，F'（t）＜0，F（t）单调递减；当t＞0时，F'（t）＞0，F（t）单调递增．
故当t=0，F（t）＞F（0）=0，即e^t-t-1＞0．
从而${e}^{{x}_{2}-{x}_{1}}$-（x₂-x₁）-1＞0，${e}^{{x}_{1}-{x}_{2}}$-（x₁-x₂）-1＞0
又$\frac{{e}^{{x}_{1}}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＞0，$\frac{{e}^{{x}_{2}}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＞0，所以φ（x₁）＜0，φ（x₂）＞0．
因为函数y=φ（x）在区间[x₁，x₂]上的图象是连续不断的一条曲线，
所以存在x₀∈（x₁，x₂）使φ（x₀）=0，即f'（x₀）=k成立．
故不存在x₀∈（x₁，x₂），使f′（x₀）＜k．

点评本题考查利用导数求函数的切线方程，训练了利用构造函数法证明问题，涉及最大值、最小值的求法以及恒成立问题，关键是理解导数的符号与单调性的关系，并能正确求出函数的导数．

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