Question

设a为实数，函数f（x）=x³+ax²+（a-3）x的导函数为f′（x），且f′（x）是偶函数，则曲线：y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为（　　）

• A、9x-y-16=0
• B、9x+y-16=0
• C、6x-y-12=0
• D、6x+y-12=0

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的概念及应用

分析：先由求导公式求出f′（x），根据偶函数的性质，可得f′（-x）=f′（x），从而求出a的值，然后利用导数的几何意义求出切线的斜率，进而写出切线方程．

解答： 解：f′（x）=3x²+2ax+（a-3），
∵f′（x）是偶函数，
∴3（-x）²+2a（-x）+（a-3）=3x²+2ax+（a-3），
解得a=0，
∴f（x）=x³-3x，f′（x）=3x²-3，则f（2）=2，k=f′（2）=9，
即切点为（2，2），切线的斜率为9，
∴切线方程为y-2=9（x-2），即9x-y-16=0．
故选：A．

点评：本题主要考查求导公式，偶函数的性质以及导数的几何意义，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．