Question

已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+4）=f（x），当x∈[0，4]时，f（x）=2^|x-m|+n，且f（2）=6．
（1）求m，n的值；
（2）当x∈[0，4]时，关于x的方程f（x）-a•2^x=0有解，求a的取值范围．

Answer 1

考点：函数的周期性

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数的周期性以及f（2）=6．建立方程即可求m，n的值；
（2）当x∈[0，4]时，根据指数函数的性质解关于x的方程f（x）-a•2^x=0即可求a的取值范围．

解答： 解：（1）由已知f（0）=f（4），
可得2^|m|+n=2^|4-m|+n，
∴|m|=|4-m|，
∴m=2
又由f（2）=6可知2^|2-2|+n=6，
∴n=5
（2）方程即为2^|x-2|+5=a×2^x在[0，4]有解．
当x∈[0，2]时，2^2-x+5=a•2^x，
则a=

4

(2x)2

+

5

2x

，
令(

1

2

)x=t∈[

1

4

，1]
则a=4t²+5t在[

1

4

，1]单增，
∴a∈[

3

2

，9]，
当x∈（2，4]时，2^x-2+5=a•2^x，
则a=

1

4

+

5

2x

，
令(

1

2

)x=t∈[

1

16

，

1

4

)
则a=

1

4

+5t，
∴a∈[

9

16

，

3

2

)
综上：a∈[

9

16

，9]．

点评：本题主要考查指数函数的图象和性质，利用条件求出m，n是解决本题的关键，本题综合性较强，运算量较大．