Question

已知sinα+cosα=

3 5

5

，α∈（0，

π

4

），sin（β-

π

4

）=

3

5

，β∈（

π

4

，

π

2

）
（1）求sin2α和tan2α的值；
（2）求cos（α+β）的值．

Answer 1

考点：二倍角的正弦,两角和与差的余弦函数

专题：三角函数的求值

分析：（1）已知式子平方可得sin2α，再由平方关系和角的范围可得cos2α，可得tan2α；
（2）由（1）知cos2α=

3

5

，由二倍角公式结合角的范围可得cosα，可得sinα，然后由sin（β-

π

4

）=

3

5

，可得cos（β-

π

4

），由和差角的公式可得sinβ和cosβ，代入cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ计算可得．

解答： 解：（1）∵sinα+cosα=

3 5

5

，α∈（0，

π

4

）
平方可得1+sin2α=

9

5

，即sin2α=

4

5

，
又∵2α∈（0，

π

2

），∴cos2α=

3

5

∴tan2α=

sin2α

cos2α

=

4

3

（2）由（1）知cos2α=

3

5

，∴2cos²α-1=

3

5

，
解得cos²α=

4

5

，∵α∈（0，

π

4

），∴cosα=

2 5

5

∴sinα=

1-cos2α

=

5

5

，
又∵sin（β-

π

4

）=

3

5

，β∈（

π

4

，

π

2

）
∴β-

π

4

∈（0，

π

4

），∴cos（β-

π

4

）=

4

5

∴sinβ=sin[（β-

π

4

）+

π

4

]=

2

2

sin（β-

π

4

）+

2

2

cos（β-

π

4

）
=

2

2

×

3

5

+

2

2

×

4

5

=

7 2

10

，
∴cosβ=

1-sin2β

=

2

10

，
∴cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ
=

2 5

5

×

2

10

-

5

5

×

7 2

10

=-

10

10

点评：本题考查二倍角的正余弦公式，涉及两角和与差的三角函数公式，属中档题．