Question

17．若一个三棱锥中，有一条棱长为a，其余棱长均为1，则其体积F（a）取得最大值时a的值为（　　）

• A． 1
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{5}}}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{6}}}{2}$

Answer 1

分析 由题意画出三棱锥的图形，取BC，AD的中点分别为E，F，求出AED的面积，然后求出棱锥的体积．

解答 解：由题意画出棱锥的图形，AB=BC=CD=BD=AC=1，AD=a；
取BC，AD的中点分别为E，F，
可知平面AED垂直BC，S_△AED=$\frac{1}{2}$AD•EF
EF=$\sqrt{{（\frac{\sqrt{3}}{2}）}^{2}-{（\frac{x}{2}）}^{2}}$
所以F（a）=$\frac{1}{3}$•S_△AED•BC=$\frac{1}{12}$a$\sqrt{3-{a}^{2}}$=$\frac{1}{12}$$\sqrt{3{a}^{2}-{a}^{4}}$，
令y=3a²-a⁴=3t-t²．t=a²．当t=$\frac{3}{2}$，即a=$\frac{\sqrt{6}}{2}$时，体积F（a）取得最大值．
故选：D．

点评 本题是基础题，考查空间想象能力，计算能力，本题的关键是棱锥的转化为两个棱锥，底面AED的处理是解题的关键．