Question

4．在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，若点E为AB边上的动点，点F是AD边上的动点，且$\overrightarrow{AE}$=λ$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AF}$=（1-λ）$\overrightarrow{AD}$，0≤λ≤1，则$\overrightarrow{DE}$•$\overrightarrow{BF}$的最大值为$-\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 由题意建立直角坐标系，边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，可得A（-$\sqrt{3}$，0），B（0，1），D（0，-1）．利用向量的坐标运算和数量积运算可得$\overrightarrow{DE}、\overrightarrow{BF}$，再利用二次函数的单调性可得$\overrightarrow{DE}$•$\overrightarrow{BF}$的最大值．

解答 解：如图所示，
∵边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，
∴A（-$\sqrt{3}$，0），B（0，1），D（0，-1）．
∴$\overrightarrow{AB}$=（$\sqrt{3}$，1），$\overrightarrow{AD}$=（$\sqrt{3}$，-1）．
$\overrightarrow{DE}$=$（\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AD}）$=λ$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AD}$=（$\sqrt{3}λ-\sqrt{3}$，λ+1），（0≤λ≤1）．
$\overrightarrow{BF}$=$\overrightarrow{AF}-\overrightarrow{AB}$=（1-λ）$\overrightarrow{AD}$-$\overrightarrow{AB}$=（-$\sqrt{3}$λ，λ-2）．
∴$\overrightarrow{DE}$•$\overrightarrow{BF}$=-$\sqrt{3}$λ（$\sqrt{3}$λ-$\sqrt{3}$）+（λ+1）（λ-2）=-2λ²+2λ-2
=-2$（λ-\frac{1}{2}）^{2}-\frac{3}{2}$，∵0≤λ≤1，
∴当λ=$\frac{1}{2}$时，$\overrightarrow{DE}$•$\overrightarrow{BF}$的最大值为-$\frac{3}{2}$．
故答案为：$-\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了向量的坐标运算和数量积运算、二次函数的单调性，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．