Question

（本小题满分13分）
某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶，经过t小时与轮船相遇。
（Ⅰ）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？
（Ⅱ）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向和航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由。

Answer 1

本小题主要考查解三角形、二次函数等基础知识，绿茶推理论证能力、抽象概括能力、运算求解能力、英语意识，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想。满分13分。




解法一：
（I）设相遇时小艇航行的距离为S海里，则

=
=
故当时，，此时
即，小艇以海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小。
（II）设小艇与轮船在B出相遇，则

故
，
即，解得
又时，
故时，t取最小值，且最小值等于
此时，在中，有，故可设计寒星方案如下：
航行方向为北偏东，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇
解法二：
（I）若相遇时小艇的航行距离最小，又轮船沿正东方向匀速行驶，则小艇航行方向为正北方向。
设小艇与轮船在C处相遇。
在中，，
又， 
此时，轮船航行时间，
即，小艇以海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小。
（II）猜想时，小艇能以最短时间与轮船在D出相遇，此时
又，所以，解得
据此可设计航行方案如下：
航行方向为北偏东，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇
证明如下：
如图，由（I）得，，
故，且对于线段上任意点P,
有 而小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，
故小艇与轮船不可能在A，C之间（包含C）的任意位置相遇。
设，则在中，，
由于从出发到相遇，轮船与小艇所需要的时间分别为
和
所以，
由此可得，
又，故
从而，
由于时，取得最小值，且最小值为
于是，当时，取得最小值，且最小值为
解法三：
（I）同解法一或解法二
（II）设小艇与轮船在B处相遇。依据题意得：
，
（
（1）                 若，则由

=
得

解析