Question

如图，在△ABC中，已知A（-3，0），B（3，0），CD⊥AB于D，△ABC的垂心为
H且．
（Ⅰ）求点H的轨迹方程；
（Ⅱ）设P（-1，0），Q（1，0），那么能否成等差数列？请说明理由；
（Ⅲ）设直线AH，BH与直线l：x=9分别交于M，N点，请问以MN为直径的圆是否经过定点？并说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）设点C（x，y），由题意得H（x，y），
则，由于AC⊥BH，
于是，
又y=0时共线，不合题意．故点C的轨迹方程为（y≠0）．
设点H（x，y），C（x₀，y₀），则（y₀≠0），
由得到点H的轨迹方程为．（4分）
（Ⅱ）设，则
，，
故=，
所以不能构成等差数列．（9分）
（Ⅲ）设M（9，m），N（9，n），则A（-3，0），B（3，0），
于是
由A，H，M三点共线得，∴；
由B，H，N三点共线得，又，以MN为直径的圆的方程为
解得（舍）或．故以MN为直径的圆必过椭圆外定点（17，0）．（15分）
分析：（Ⅰ）设点C（x，y），由题意得H（x，y），则，由于AC⊥BH，于是，又y=0时共线，不合题意．故点C的轨迹方程为（y≠0）．由此能得到得到点H的轨迹方程为．
（Ⅱ）设，则，，由此能得到不能构成等差数列．
（Ⅲ）设M（9，m），N（9，n），则A（-3，0），B（3，0），于是，由A，H，M三点共线得．由B，H，N三点共线得，又，以MN为直径的圆的方程为，由此能得以MN为直径的圆必过椭圆外定点（17，0）．
点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件．