Question

【题目】已知椭圆： 的离心率为，且椭圆过点.过点做两条相互垂直的直线、分别与椭圆交于、、、四点.

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）若， ，探究：直线是否过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】试题分析：（Ⅰ）由已知，可建立关于椭圆三个参数的方程组进行求解，由离心率可得，又点在椭圆上，可得，结合，从而问题可得解.

（Ⅱ）由题意，可对直线的斜率分“不存在与0”和“都存在且”两种情况进行分类讨论，先对后一种情况探究，则可设两直线的方程分别为， ，逐个联立椭圆方程，分别计算的中点的坐标，从而求出直线的方程，并求得其定点为，再对前一种情况进行验证即可.

试题解析：（Ⅰ）由题意知， ，解得，

故椭圆的方程为.

（Ⅱ）∵， ，∴、分别为、的中点.

当两直线的斜率都存在且不为0时，设直线的方程为，

则直线的方程为， ， ， ， ，

联立，得，∴，

∴， ，∴中点的坐标为；

同理， 中点的坐标为，∴，

∴直线的方程为 ，

即，∴直线过定点；

当两直线的斜率分别为0和不存在时，则直线的方程为，也过点；

综上所述，直线过定点.