Question

11．已知双曲线l：kx+y-$\sqrt{2}$k=0与双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行，且这两条平行线间的距离为$\frac{4}{3}$，则双曲线C的离心率为（　　）

• A． 2
• B． 2$\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． 3

Answer 1

分析 根据双曲线的渐近线方程可知丨k丨=$\frac{b}{a}$，根据两平行线之间的距离公式，即可求得k的值，由双曲线离心率公式，即可求得答案．

解答 解：由题意可知：直线l：kx+y-$\sqrt{2}$k=0，则渐近线方程kx+y=0，即y=-kx，
∴丨k丨=$\frac{b}{a}$，
由这两条平行线间的距离为$\frac{4}{3}$，即$\frac{丨-\sqrt{2}k丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{4}{3}$，整理k²=8，
解得：k=±2$\sqrt{2}$，
即$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=k²=8，
由双曲线的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=3，
∴双曲线C的离心率3，
故选D．

点评 本题考查双曲线的标准方程及简单几何性质，两平行线之间的距离公式，考查计算能力，属于中档题．