Question

1．已知函数f（x）=$\frac{m}{x}$+xlnx（m＞0），g（x）=lnx-2．
（1）当m=1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）设函数h（x）=f（x）-xg（x）-$\sqrt{2}$，x＞0．若函数y=h（h（x））的最小值是$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，求m的值；
（3）若函数f（x），g（x）的定义域都是[1，e]，对于函数f（x）的图象上的任意一点A，在函数g（x）的图象上都存在一点B，使得OA⊥OB，其中e是自然对数的底数，O为坐标原点，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）求出h（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出h（x）的最小值，从而求出m的值即可；
（3）根据OA和OB的关系，问题转化为$\frac{{x}^{2}}{2}$-x²lnx≤m≤x²（e-lnx）在[1，e]上恒成立，设p（x）=$\frac{{x}^{2}}{2}$-x²lnx，根据函数的单调性求出m≥p（1）=$\frac{1}{2}$，设q（x）=x²（e-lnx），根据函数的单调性求出m≤q（1），从而求出m的范围即可．

解答 解：（1）当m=1时，f（x）=$\frac{1}{x}$+xlnx，f′（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}$+lnx+1，
因为f′（x）在（0，+∞）上单调增，且f′（1）=0，
所以当x＞1时，f′（x）＞0；当0＜x＜1时，f′（x）＜0，
所以函数f（x）的单调增区间是（1，+∞）．
（2）h（x）=$\frac{m}{x}$+2x-$\sqrt{2}$，则h′（x）=$\frac{{2x}^{2}-m}{{x}^{2}}$，令h′（x）=0，得x=$\sqrt{\frac{m}{2}}$，
当0＜x＜$\sqrt{\frac{m}{2}}$时，h′（x）＜0，函数h（x）在（0，$\sqrt{\frac{m}{2}}$）上单调减；
当x＞$\sqrt{\frac{m}{2}}$时，h′（x）＞0，函数h（x）在（$\sqrt{\frac{m}{2}}$，+∞）上单调增．
所以[h（x）]_min=h（$\sqrt{\frac{m}{2}}$）=2$\sqrt{2}$m-$\sqrt{2}$，
①当$\sqrt{2}$（2m-1）≥$\sqrt{\frac{m}{2}}$，即m≥$\frac{4}{9}$时，函数y=h（h（x））的最小值
h（2$\sqrt{2}$m-$\sqrt{2}$）=$\sqrt{2}$[$\frac{m}{2（2\sqrt{m}-1）}$+2（2$\sqrt{m}$-1）-1]=$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$，
即17m-26$\sqrt{m}$+9=0，解得$\sqrt{m}$=1或$\sqrt{m}$=$\frac{9}{17}$（舍），所以m=1；
②当0＜$\sqrt{2}$（2$\sqrt{m}$-1）＜$\sqrt{\frac{m}{2}}$，即$\frac{1}{4}$＜m＜$\frac{4}{9}$时，
函数y=h（h（x））的最小值h（$\sqrt{\frac{m}{2}}$）=$\sqrt{2}$（2$\sqrt{m}$-1）=$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$，解得$\sqrt{m}$=$\frac{4}{5}$（舍），
综上所述，m的值为1．
（3）由题意知，K_OA=$\frac{m}{{x}^{2}}$+lnx，K_OB=$\frac{lnx-2}{x}$，
考虑函数y=$\frac{lnx-2}{x}$，因为y′=$\frac{3-lnx}{{x}^{2}}$在[1，e]上恒成立，
所以函数y=$\frac{lnx-2}{x}$在[1，e]上单调增，故K_OB∈[-2，-$\frac{1}{e}$]，
所以K_OA∈[$\frac{1}{2}$，e]，即$\frac{1}{2}$≤$\frac{m}{{x}^{2}}$+lnx≤e在[1，e]上恒成立，
即$\frac{{x}^{2}}{2}$-x²lnx≤m≤x²（e-lnx）在[1，e]上恒成立，
设p（x）=$\frac{{x}^{2}}{2}$-x²lnx，则p′（x）=-2lnx≤0在[1，e]上恒成立，
所以p（x）在[1，e]上单调减，所以m≥p（1）=$\frac{1}{2}$，
设q（x）=x²（e-lnx），
则q′（x）=x（2e-1-2lnx）≥x（2e-1-2lne）＞0在[1，e]上恒成立，
所以q（x）在[1，e]上单调增，所以m≤q（1）=e，
综上所述，m的取值范围为[$\frac{1}{2}$，e]．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，考查函数恒成立问题，是一道综合题．