Question

【题目】如图，CA，CB分别与圆O切于A，B两点，AE是直径，OF平分∠BOE交CB的延长线于F，BD∥AC．

（1）证明：OB2=BCBF；
（2）证明：∠DBF=∠AOB．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OC，由CA，CB为切线，可得CA=CB，

OA=OB，OC=OC，

即有△OAC≌△OBC，

即有∠AOC=∠BOC，

又OF平分∠BOE交CB的延长线于F，

可得∠EOF=∠BOF，

则∠FOC=∠FOB+∠BOC=∠EOF+∠AOC=90°，

在直角三角形COF中，OB为斜边CF上的高，

由射影定理，可得OB2=BCBF

（2）证明：由∠CAO=∠CBO=90°，可得

四点C，A，O，B共圆，延长AC至M，

即有∠MCB=∠AOB，

由BD∥AC，可得∠DBF=∠MCB，

即有∠DBF=∠AOB

【解析】（1）连接OC，运用切线的性质，可得△OAC≌△OBC，结合内角平分线的定义，可得∠FOC=90°，由直角三角形的射影定理，即可得证；（2）由对角互补，可得四点C，A，O，B共圆，延长AC至M，运用两直线平行的性质，即可得证．