Question

【题目】已知：椭圆的焦距为2，且经过点，是椭圆上异于的两个动点.

（1）求椭圆的方程；

（2）若，求证：直线过定点，并求出该定点坐标.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析，定点坐标：.

【解析】

（1）通过椭圆的焦距为2，求出．结合椭圆经过点，列出方程组求解，，得到椭圆方程．

（2）设，、，，

①直线的斜率存在时，设直线的方程为，与椭圆方程联立可得，，利用韦达定理推出，的关系式，利用向量的数量积推出，得到直线系，然后求解直线经过的定点；

②直线的斜率不存在时，设直线的方程为，，，，判断直线经过的定点即可．

解：（1）因为椭圆的焦距为2，且经过点

所以解得

所以；

（2）设，

①直线的斜率存在时，设直线的方程为，

与椭圆方程联立可得，，

∴(*)且，

∵，∴，

即，

化简得，

将(*)式代入，得，，

∴，即或(舍，此时直线过点)

∴直线的方程为，过定点；

②直线的斜率不存在时，设直线的方程为，，

可设，且，由，

即，解得或(舍)，

此时直线的方程为，也过定点；

综上，直线过定点.