Question

【题目】已知、是椭圆上不同的两点，的中点坐标为．

（1）证明：直线经过椭圆的右焦点．

（2）设直线不经过点且与椭圆相交于，两点，若直线与直线的斜率的和为1，试判断直线是否经过定点，若经过定点，请求出该定点；若不经过定点，请给出理由．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）过定点；.

【解析】

（1）根据已知用点差法求出直线的斜率，即可证明结论；

（2）先考虑直线斜率存在情况，设直线的方程为，直线要过定点，只需求出为定值或确定关系，联立直线方程与椭圆方程，根据根与系数关系以及直线与直线的斜率的和为1，可得关系，得出定点，再求出直线斜率不存在时方程即可.

（1）由题知，，设，，

的中点坐标为，所以，

由，两式相减，

得，

又因为，所以直线经过椭圆的右焦点．

（2）当直线斜率存在时，设直线的方程为，

由得，

设，，

所以，，

又因为，所以，

即，

所以，化简得，

所以，又因为，所以，

所以直线的方程为，

经检验，符合题意，所以直线过定点，

又当直线斜率不存在时，直线的方程为，

，又因为，

解得，也过点．

综上知，直线过定点．